10道题10分钟，50%正确率

1.代入排除法【重点⭐⭐⭐】

何时用：

  • 看题型：
    • 年龄：年龄差不变
    • 余数问题：余、平均分、有剩余，常见分东西、排队等
    • 多位数：三四位数，出现位数的变化，优先验证对调情况，可以一步排除
    • 不定方程：未知数个数多余方程个数。
    • 【例】3x+2y=10，求: x、y的值        A. 3、2        B. 2、2
  • 看选项：选项是一组数，每组选项数字≥2个。可以转换为一组数也算
    • 甲、乙两支足球队练习时共进球20个，甲队比乙队多进8个。两队分别多少个?
      • A.13，7        B.14，6        C.12，8        D.11，9
    • 甲队分别多少个?(乙队也知道了)
      • A.13        B.14        C.12        D.11
  • 看题干：题干关系多，主体关系复杂，题意乱或难求解。想放弃时排除法挣扎

怎么用：剩二代一，必出答案（剩下BD，代入B不符合，此时不需要再代入D，直接选）

某选项满足所有条件，停下不用再代其他
4个选项排除了3个选项后，也不用再代入

先排除：利用奇偶、倍数、尾数等特性
再代入：

  • ①最值原则，问最大从最大开始代入，问最小从最小开始代入.
  • ②从简原则，好算，整十/整百优先代入
  • ③居中代入：代入居中的选项，类似二分查找，根据大小判断下一步代入的选项。适合单调性已知、方程好解的式子。选项是4、6、8、10，从中间6开始代入

2.倍数特性法【重点⭐⭐⭐】

利用条件中的倍数特性来排除答案，结合代入法
平均分：

  • 恰好分完：整除型
  • 有余数：余数型

质数/素数：只有1和它本身两个约数的自然数叫做质数
合数：除了1和它本身还有其它约数的自然数叫做合数

1和0非质非合。1只有1个约数，不能算质数。0=0*N，有无穷多个约数
2是唯一的偶质数

2.1整除型

平均分配
三量关系：总价=单价×数量，若总价、数量都是整数，则单价也是整数

①口诀法：

  • 2、5看末一位
  • 4、25看末两位：4255看55是不是25的倍数。2125是25的倍数不是4的倍数
  • 3、9看各位数字加和：1245819，凑齐9就划掉(1+8，4+5)，不用全加，麻烦
    ②因式分解：复杂倍数，分解时必须互质(2个数除了1无其他公约数)
  • 12=3×4✔️12=2×6❌。将12被拆成3倍与4倍，若一个数同时是3N和4N，则一定是12N
  • 复杂倍数用因式分解，不用拆分
    ③拆分：通用
  • 231是否为7的倍数，拆成：7的若干倍±小数字
  • 231=210+21,210和21都是7的倍数，故231也是7的倍数
  • 4355是否为11的倍数，4355=4400-45
  • 4765是否为12的倍数，不是，奇偶性
  • 56784是否是12的倍数，是3N，是4N，则也是12N

一只木箱内共有鸡蛋和鸭蛋若干个。小王一次取出3个鸭蛋、7个鸡蛋，这样操作N次后，鸡蛋拿完了，鸭蛋还剩24个；如果换一种取法：每次取出3个鸭蛋、5个鸡蛋，这样操作M次后，鸭蛋拿完了，鸡蛋还剩8个，原来木箱内鸡蛋和鸭蛋各多少个？
A.124、140
B.168、96
C.166、96
D.169、95

选项2个96，大概率就是了，从鸡蛋入手，因为鸭蛋有相同的结果，
总鸡蛋数=7N
A.124=140-16，不是7N
B.168=140+28

2.2余数型

余数型：平均分，有剩余/缺少

  • 答案=ax±b$\longrightarrow$答案∓b能被a整除
    多退：多几个/余几个/剩几个，多几个在总数上退几个，正正好好够分，

  • 总数-多的=每次数N个×轮数
    少补：少几个/缺几个/不够几个，少几个在总数上补几个，正正好好够分

  • 总数-缺的=每次数N个×轮数

    【例】一堆苹果平均每人分10个，还剩3个，则苹果有多少个?
    A.117        B.120        C.123        D.126
    总数=10×人数+3，即总数-3=10×人数，选项分别-3，看谁是10的倍数，C
    【例】一堆苹果平均每人分10个，还缺3个，则苹果有多少个?
    总数=10×人数-3，即总数+3=10×人数，选项分别+3，看谁是10的倍数，A

    【例】三个运动员跨台阶，台阶总数在100～150级之间，第一 位运动员每次跨3级台阶，最后一步还剩2级台阶。第二位运动员每次跨4级台阶， 最后一步还剩3级台阶。第三位运动员每次跨5级台阶，最后一步还剩4级台阶。这 些台阶总共有（ ）级。
    A. 119        B. 121        C. 129        D. 131
    方法1：多退少补，X-2=3N,X-3=4N,X-4=5N，先-4验证5N（好算）
    方法2：跨3级台阶剩2级，补上1阶即可跨完，X+1=3N，跨4级剩3级，补上1阶即可跨完，X+1=4N，跨5级剩4级，补上1阶即可跨完，X+1=5N，即X+1同时为3/4/5的倍数

差同、合同、余同：除数和余数之间的关系

  • 差同：公倍数做周期，减差。M÷5余4差1，M÷7余6差1 $\Rightarrow$ 35N-1
  • 和同：公倍数做周期，加和。M÷5余4和9，M÷7余2和9 $\Rightarrow$ 35N+9
  • 余同：公倍数做周期，加余。M÷5余1，M÷7余1 $\Rightarrow$ 35N+1

2.3比例型(重点)

使用情况：出现分数、百分数、比例、倍数时，化简成最简整数比使用。从问题出发找比例，问哪个找哪个
(1)男女生人数之比是3:5(比例)
(2)男生是女生人数的$\cfrac{3}{5}$(分数)
⑶男生是女生人数的60%(百分数)
(4)男生是女生人数的0.6倍(倍数)

若$\cfrac{A}{B}=\frac{m}{n}$，（A、B均为整数，$\cfrac{m}{n}$ 为最简整数比），则：

  • A是m的倍数，分子对分子

  • B是n的倍数，分母对分母

  • A+B是m+n的倍数，左边相加对右边相加

  • A-B是m-n的倍数，左边相减对右边相减

    已知某班级学生，$\cfrac{男生}{女生}=\frac{3}{5}$
    男同学人数是3的倍数；女同学人数是5的倍数；同学总数是8的倍数；
    女同学和男同学相差2的倍数(令男生=3x，女生=5x，相减为2x)

原来袋子里红球与白球的数量之比为19∶13。放入若干个红球后，红球与白球的数量之比变为5∶3，再放入若干个白球后，红球与白球的数量之比为13∶11。已知放入的红球比白球少80个。那么原来袋子里共有多少个球?( )D
A 650        B 720         C840         D 960
步骤:
1.识别出现分数、百分数、比例、倍数，可考虑倍数特性
2.化成最简整数比：红/白=19/13,对应4条结论
3.看问题，选结论，来排除。用相加的结论，直接选，后面的数据留给做方程的人

升级考法：

  • 男生人数比女生人数多$\cfrac{1}{5}$=男生比女生多女生的$\cfrac{1}{5}$=女生5x，男生6x=男/女=6/5
  • A比B少1/7=A/B=(7-1)/7
  • 黑球比白球多3/8=黑/白=(3+8)/8
  • 结论：谁比谁=谁÷谁
    • 比字后面是分母，分母不变，
    • 分子，若多，分母+分子；若少，分母-分子
      甲比乙多$\cfrac{2}{7}$ $\Longrightarrow$ 甲：乙=9：7

3.方程法【重点⭐⭐⭐】

方程法最后使用

1.普通方程：未知数个数=方程个数。设未知数、列方程、解方程

  • 问谁设谁（A是B的2倍，问B）
  • 设小不设大（A是B的2倍，A小）
  • 设中间量（A是B的2倍，B是C的3倍）
  • 有比例，设份数（A：B=3:4，设A为3x，B为4x）
  • 以坑治坑：两者为x和3x，选项为A.30        B.40        C.90        D.100，选A或者C

2.不定方程方法：带入排除法，ax+by=M

  • ①倍数特性：常数项M可以与任意一个系数(a或b)约分。7y+3x=60，则3x与60都是公约数3的倍数，则剩下的一项7x也是3的倍数
  • ②尾数特性：任意一个系数的尾数为0或5
  • ③奇偶特性：2个系数一奇一偶。两数相乘，一偶则偶，全奇为奇
    • 7x+6y=47，7和6一奇一偶，奇偶特性，6y为偶数，结果为奇数，故7x为奇数
    • 尾数、倍数>奇偶特性
  • 未知数一定是整数时的套路：消元
  • 未知数不一定是整数时的套路【低频】：赋0法，让系数最大的未知数=0

档案室需要整理300份档案，要求每天整理的档案数量相同，且规定了完成的期限。如果要提前一天完成，那么每天需要多整理10份档案。则规定的期限为（）天。
A.6
B.7
C.8
D.9

不用算，直接看
300=每天整理×天数
都是整数，带入选项即可
300÷7/8/9都不能整除

4.工程问题【重点⭐⭐⭐】

工作过程复杂：画线段

拓展：短除法

4.1给完工时间型

给完工时间型：同一项工程，给出多个完工时间≠给时间

识别：一项工程，
甲乙合作8天干完
甲先干6天，乙再干8天干完
问，甲先干2天，乙再干几天干完？
↑一共有几个完工时间：1个。不能拼接/前后干

①赋总量：完工时间的公倍数（短除法），设置为1不好算
②算效率：效率=总量÷时间
③根据工作过程列式求解：最难
根据时间段：甲乙合作15小时后，甲离开，乙单独工作t小时完成
根据人头：每人每机器效率赋值为1

搬一堆砖，甲单干要4个小时，乙单干要6个小时，甲乙合作要多久完成？
设总量W=12，P甲=W/4=3，P乙=W/6=2，T合作=$\cfrac{W}{\frac{W}{4}+\frac{W}{6}}$，W约掉，故赋值无影响

PS：若没给时间，但是给了时间之间的关系，求时间：带入排除

甲比乙多2小时，求$T_甲$

轨道交通公司定期进行轨道检修工作，甲、乙两个工程队合作进行需4小时完成，甲队单独完成比乙队单独完成快15小时，则甲队单独完成需要的时间是：
A.5小时
C.7小时
B.6小时
D.8小时

虽然没有直接给出这项工程的多个完工时间，但是$T_甲$就是选项，可以根据选项来求出$T_乙$，变相知道甲乙的完工时间，带入排除法

一件工作由甲、乙、丙三人完成，若甲、乙合作先干10小时，丙再单干1小时可以完成。已知乙单干用的时间比甲多4小时，丙单干用的时间是甲的1/2还多2小时，问甲单干需多少小时？
A.20
B.25
C.30
D.35

正确答案：A
可以列方程，但是麻烦
分析：乙丙单干的时间都与甲有关，若知道甲单干的时间，则甲乙丙完成这项工程的时间就全知道

代入法，代入选项
A.$T_甲$=20，$T_乙$=24，$T_丙$=12，
算出W=120，三者效率$V_甲$=6，$V_乙$=5，$V_丙$=10
代入题干的甲乙丙合作，满足要求，当选

B.$T_甲$=25，$T_乙$=29，$T_丙$=
C.$T_甲$=30，$T_乙$=24，$T_丙$=
D.$T_甲$=35，$T_乙$=24，$T_丙$=

4.2给效率比例型

给效率比例型：给多个工作效率的比例关系

①赋效率：满足比例即可

  • 直接给效率
  • 间接给效率：A4天的量=B3天的量$\Longrightarrow$A:B=3:4 ，工作量一定，P和T成反比
  • 出现多个时间，但是不是完工时间型，考虑间接效率比例型
  • 给人数或机器数：赋值，每台机器/人=1
    ②算总量：总量W=P×T
    ③根据工作过程列式求解：最难

4.3给具体单位型

给具体单位型：方程法。设未知数，列方程求解

给W：要修5000米的路；要栽1000棵树
给P：每天修300米；每天栽100棵树

4.4牛吃草问题

有增长有消耗，出现排比句
抽水机抽水、挖沙机挖沙、窗口售票

公式：Y=（N-X）T
Y：原有草量——消耗量
N：牛吃草的效率——消耗
牛吃草的效率一般用牛头数来表示，即赋值每头牛效率v=1
X：草生长的效率——新增
T：牛吃草的时间——消耗时间

4.5帮忙问题

谁牛帮谁少：
甲、乙、丙三人完成同一幅拼图的的间分别需要1小时、1.2小时、1.5小时。现在有两幅拼图需要甲、乙完成，两人同时开始，丙刚开始帮助甲拼拼图，后来又帮助乙拼，最后两个拼图同时完成。问丙分别帮助甲、乙多长时间?
A.0.1小时、0.3小时 B.0.3小时、0.5小时 C.0.5小时、0.6小时 D.0.6小时、0.2小时

5.经济利润问题【重点⭐⭐⭐】

基础公式：

  • 利润=售价－成本
  • 利润率=$\cfrac{利润}{成本}$，资料分析分母是÷收入
  • 售价=成本×（1+利润率）
  • 折扣=$\cfrac{折后价}{折前价}$，折扣=小的数值/大的数值
  • 总价=单价×数量，总利润=单个利润×销量

方程法：题目中出现具体金额，具体的数值+单位

赋值法：没有具体金额，给比例，求比例时使用。通常赋(基期的)成本=100，销量=10件

某商场柜台出售一款小家电，如果按定价打九折出售可获得利润70元，如果按定价打九五折出售可获得利润100元。这款小家电进货价格所在区间是：
A.400～450元
C.500～550元
B.450～500元
D.550～600元

正确答案：B
售价-进价=利润，进价不变时 ，利润与售价成正比
或者说，利润的提高是售价带来的，30是售价多的
△利润=△售价。0.05定价=30，

思维拓展：同一件物品（进价不变时），售价的变化量=利润的变化量。
简单来说：进价不变，一件商品卖的贵利润就高，卖的便宜利润就低

分段计费：生活中的水电费、出租车计费、税费等，每段计费标准不同

  • 按标准，分开；计算后，汇总

函数最值：单价和销量此消彼长，问何时总价或总利润最高

  • 设提价或降价次数为X，列出总价或总利润的函数表达式：两括号相乘
  • 令函数的2个括号内分别为0，解得$X_1$和$X_2$
  • 当$X=\frac{X_{1}+X_{2}}{2}$ 时，即X介于2者中间，总价或总利润取得最值

6.行程问题【难点⭐⭐】

6.1普通行程

基础公式：路程=速度×时间。1m/s=3.6km/h

等距离平均速度：

  • 适用题型：等距离两段、直线往返、上下坡往返
  • 公式：$\bar{V}=\frac{2V_1 ×V_2}{V_1 +V_2}$

匀变速运动：

  • 匀变速运动的平均速度=(初速度+末速度)/2
  • 如果有多个变速过程，需要分别计算平均速度

火车过桥：路程=桥长+车长

  • 火车完全在桥上：路程=桥长-车长

6.2相对行程

同向追及，反向相遇
  • 直线相遇：两人同时相向而行，开始相遇时两人之间的距离=$S_和=V_和 ×T_遇$
  • 直线追及：两人同时同向而行，开始追及时两人之间的距离=快的比慢的多走的距离=$S_差=V_差 ×T_差$
  • 直线两端出发，多次相遇：$S_和=(2N-1)圈长度=V_和 ×T_遇$
  • 环形相遇：同时同点反向出发，$S_和=N圈长度=V_和 ×T_遇$
  • 环形追及：同时同点同向出发，$S_差=N圈长度=V_差 ×T_追$
  • 环形不同点出发：第一次相遇不用走剩下一半的路，第二次相遇即为同点出发。注意谁追谁，可能是长的那条弧线，△不同
    • 相遇N次：S和=起点之间的距离+(N-1)圈
    • 追及N次：S差=起点之间的距离+(N-1)圈

流水行船问题：$V_顺=V_船 +V_水$，$V_逆=V_船 -V_水$

比例行程问题：往往只有路程或只有时间，缺少数据。
某地突发森林火灾，现有甲、乙两支消防队离火灾发生地距离相同，但路况不同，假设两支队伍接到命令后同时出发，并且按照一定速度匀速赶往火灾现场参与救援。已知当甲消防队走了 1/3 路程时，乙消防队走了 9 公里，当乙消防队走了 1/3 路程时，甲消防队走了 16 公里，问甲消防队到达目的地时，乙消防队距离目的地还有多少公里？
A.9        B.12        C.27        D.36
时间相等时，路程与速度成正比。$\cfrac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{\frac{1}{3}S}{9}=\frac{16}{\frac{1}{3}S}$
S一定，V与T成反比。主流考法:同一条路，甲乙两人走过花费的时间不同
T一定，S与V成正比。其主流考法:当甲…时，乙…
V一定，S与T成正比。考得较少

7.几何：这几年大火【难点⭐】

规则图形直接用公式，不规则图形转换为规则图形（割、补）平移

圆锥表面积$S=πRl$，R是底面半径

勾股定理：$a^2+b^2=c^2$，常见勾股数3-4-5，6-8-10，5-12-13，7-24-25

  • 求长度：构造一个特殊三角形（如直角三角形，用勾股定理、三角函数）
  • 相似三角形：对应边之比为相似比，面积之比为相似比的平方
  • 底（高）相同的三角形，面积之比等于高（底）之比
  • 30°：60°：90°的边=1：$\sqrt(3)$：2
  • 45°：45°：90°的边=1：1：$\sqrt(2)$

平面最短：

  • 2点同侧：镜面对称再连接
  • 2点异侧：直接连线

有图就看图：

一辆汽车第一天行驶了5个小时，第二天行驶了600公里，第三天比第一天少行驶200公里，三天共行驶了18个小时。已知第一天的平均速度与三天全程的平均速度相同，问三天共行驶了多少公里?
A.800        B.900        C.1000        D.1100
S=VT=18T，18的倍数

甲车上午8点从A地出发匀速开往B地，出发30分钟后乙车从A地出发以甲车2倍的速度前往B地，并在距离B地10千米时追上甲车。如乙车9点10分到达B地，则甲车的速度为（）千米/小时。A
A.30        B.36        C.45        D.60                
A×2=D，猜D为乙车速度，坑，A为甲车速度

【例2】A、B点和墙的位置如下图所示。现从A点出发以5米/秒的速度跑向墙，接触到墙后再跑到B点。问最少要多少秒到达B点？

A.30&nbsp&nbsp&nbsp&nbspC.38&nbsp&nbsp&nbsp&nbspB.34&nbsp&nbsp&nbsp&nbspD.42

【例3】兔子和乌龟举行一场跑步比赛，终点位于起点正北方500米处。兔子和乌龟同时出发，均保持匀速奔跑，且兔子的速度是乌龟的5倍。兔子先向正东方跑了一会后发现自己跑错了方向，马上直奔终点，速度不变，结果兔子和乌龟同时到达终点。那么兔子发现跑错方向时已经跑了多少米？
A.600
C.2400
B.1200
D.3000

1.直径所对圆周角是直角

2.我的C，正确A

求最短路径$A^{'}B$：构造直角三角形

3.B
画图，同时出发同时到达，时间一样
乌龟路程：500m
兔子路程：2500m
看到5要想到5，12，13。答案选B
设往东走了x，三角形的斜边就是25-x
$x^{2}+5^{2}=(25-x)^{2}$，代入选项计算

8.排列组合【难点⭐⭐】

8.1基本概念

分类与分步：

  • 分类用加法：要么……要么……
  • 分步用乘法：既……又……

排列：与顺序有关（改变顺序，结果变化）

  • $A_n^m$=从n开始往下乘m个数，$A_n^m$=4×3×2
  • 照相：ABC与BCA
  • 洒水+扫地：AB与BA

组合：与顺序无关（改变顺序，结果不变）

  • $C_n^m$=$\cfrac{从n开始往下乘m个数}{从m开始往下乘m个数}=\frac{A_n^m}{A_m^m}$，C是上下交叉乘以上角标个数
  • $C_8^3=\cfrac{8×7×6}{3×2×1}=\frac{A^{3}{8}}{A^{3}{3}}=\frac{有顺序}{上角标的顺序}=无顺序$
  • 扫地：ABC与BAC
  • 全组合结果为1，$C_n^n$=1
  • $C^{m}_n = C^{n-m}_n,C^{3}_8 = C^{5}_8$
  • 选1个不存在顺序，$A^{1}_n = C^{1}_n=n$

判断是否要顺序：
第一个选A，第二个选B和第一个选B，第二个选A看是否有影响

枚举法：数据不大、选项都≤10个

  • 别漏了，同一标准。从大到小从小到大

  • 捆绑法：必须相邻

    • ①先捆绑，把相邻的捆绑起来看成一个整体
    • ②再排列组合，把捆后的“整体”与其他进行排列组合
    • 注意捆绑过程需考虑内部有无顺序

  • 反面思考：正面困难、至少N个、不都/全。满足条件=总情况-不满足

8.2插空法/插板法

插空法：不能相邻

  • ①先排列组合：先安排可以相邻的元素，形成若干个空位
  • ②再插空：将不相邻的元素插入到空位中。注意空位个数
  • 共有$C_{n-1}^{m-1}$

插板法进阶：将n个相同的元素分给m个人，每人至少分X个该元素。则每人先分(X-1)个该元素，余下的元素再用隔板法进行二次分配
25个相同的苹果分给三个小朋友，每人至少分6个，问有多少种分法？
先每人给5个，余下的元素再插板法

插板法进阶2：打造出“还需要至少1个”的模型
将13个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，则共有多少种放法？
分析：即1号盒子里面至少有1个，2号盒子里面至少有2个，3号盒子里面至少3个。先给1号盒子0个，2号盒子1个，3号盒子2个，打造出“还需要至少1个”的模型

剩下10个插板法

8.3错位重排

n个元素，全打乱顺序后重新排列，元素均不回到原位置。借调人员、互换车位、交叉审核等
背住：$D_{1}=0,D_{2}=1,D_{3}=2,D_{4}=9,D_{5}=44,D_{6}=265$
了解：$D_{n}=(n-1)\times (D_{n-1}\times D_{n-2})$

部分错位：n个元素中有m个元素重排后发生错位。先选出错位的元素，再错位重排，即$C_{n}^{m}\times D_{m}$

四个装药的瓶子都贴了标签，其中三个贴错了，那么，共有几种可能的贴法?
$C_{4}^{3}\times D_{3}$

8.4环形排列

不考虑方位，只考虑相对位置。N人环形全排列，有$A_{n}^{m}\div n=A_{n-1}^{n-1}$种情况
4人，顺序是ABCD，相对位置不变，绕一圈有4种情况。

  • 定住A不动，剩下的人有$A_{n-1}^{n-1}$

6 个小朋友围成在·一圈做游戏，小华和小明需要挨在一起，问有多少种安排方法？A.360        B.240        C.120        D.48
捆绑法：先捆绑，再排列捆好后看成一个人，÷看成一个人后的人数，$A_{2}^{2}\times A_{5-1}^{5-1}$
插空法：先环牌一般的，再插入不相邻的(有顺序就用A)

9.概率

给情况求概率，$概率=\frac{满足条件的情况数}{总情况数}$

给概率求概率：

  • 分类：概率=各类概率的和
  • 分步：概率=各步概率的乘积

某商场进行抽奖活动，奖项分为一、二、三等奖，抽到一等奖的概率为$\cfrac{1}{10}$，抽到二等奖的概率为$\cfrac{1}{5}$，抽到三等奖的概率为$\cfrac{3}{10}$，则一个人抽一次奖，可以获奖的概率为？

一等奖或二等奖或三等奖：$\cfrac{1}{10}+\cfrac{1}{5}+\cfrac{3}{10}$

小明上学路上要经过三个红绿灯，第一个路口绿灯的概率为$\cfrac{4}{5}$，第二个路口绿灯的概率为$\cfrac{3}{4}$，第三个路口绿灯的概率为$\cfrac{2}{3}$，问小明上学路上三个路口均是绿灯的概率为？

1绿且2绿且3绿：$\cfrac{4}{5}×\cfrac{3}{4}×\cfrac{2}{3}$

【例1】物业派出小王、小曾、小郭三名工作人员负责修剪小区内的6棵树，每名工作人员至少修剪1棵（只考虑修剪的棵数），则小王至少修剪3棵的概率为：
A.3/10
C.1/4
B.3/7
D.3/5

【例2】山东手造精品众多，某展览会有叶雕、皮影、风筝、麦秸画、柳编、葫芦画、锡雕、鲁班枕8个展厅。因时间原因，一名参观者决定从8个展厅中随机选取3个进行参观。问叶雕和皮影展厅至少一个被选中的概率是多少？
A.5/14
C.9/14
B.15/28
D.19/28

【例1】我的D，正确A
插板法判定：

  • ①相同的东西：题干中只考虑修剪的棵树
  • ②每人至少1个
  • 共有$C_{n-1}^{m-1}=C_{6-1}^{3-1}$=10种

满足条件的数量：

  • 小王修剪3颗，剩下3颗按照1+2与2+1有2种情况
  • 小王修剪4颗，只有1种情况

快速方法：总情况数10种，所以答案分母应该是10的倍数，排除BC
小王至少修剪3棵的概率=小曾至少修剪3棵的概率=小郭至少修剪3棵的概率
如果选D：$\cfrac{3}{5}+\cfrac{3}{5}+\cfrac{3}{5}>1$

【例2】我的B，正确C
正向：

正向求解复杂：逆向思考，满足情况的概率=1-不满足的概率
一个都不选：$C_{6}^{3}=20$，共56种。∴所求概率=$1-\cfrac{20}{56}$

我的做法：$C_{8}^{3}=56$，$C_{6}^{3}=20$
∴所求概率=$\cfrac{20}{56}$

9.9跟屁虫问题

两人(物)要在相邻、同一排、列、队、车。分步求概率
方法：先放一个(随意放)，再放另一个

  • 让其中一人任意找位置，$P_{1}=1$(必然事件)，N个位置，里面有N种方法可选=N/N=1
  • 让另一人去找，$P_{2}$
  • 分步用乘法：$P=P_{1}\times P_{2}=P_{2}$
    • 教室有5排共30个座位，每排座位数相同，小张和小李随机入座，则他们坐在同一排的概率
    • 小张随便坐(100%)×还剩29个位置，要想在同一排，只剩5个位置$\cfrac{5}{29}$=$\cfrac{5}{29}$

10.容斥原理【难点⭐】

两集合：A+B -A∩B=总数–都不。每个区域不重不漏各加一次=总数
三集合：

  • 标准：A+B+C -A∩B - A∩C -B∩C +A∩B∩C=总数–都不
  • 非标：A+B+C–满足两项–满足三项×2=总数–都不
  • 常识：满足一项＋满足两项＋满足三项=总数–都不

11.最值问题

11.1最不利构造

最不利构造：至少…，保证…

  • 至少…保证/一定有N个相同或类似表述

  • 原则：构造最不利情况数+1。

  • 方法：①分类，可能结合排列组合考②每类取N-1个，不够的话就全取③结果+1

    例:袋子原有10个红球，4个蓝球
    ①至少取出()个球．才能保证有3个球的颜色相同？
    取n=3个，原来够3个的，先取2个（篮球取2个，红球也取2个），最后+1，共5个
    ②至少取出()个球，才能保证有6个球的颜色相同?
    取n=6，原来不够6个的全取（篮球），原来够6个的先取5个（红球），最后+1共10个

最不利+排列组合：
某商店有a、b、c三种口红，m、n两种眼影，每位顾客均购买1支口红和1盒眼影。则至少有多少位顾客购买，才能保证有3位顾客购买的美妆搭配是相同的。
①一共有3×2=6种情况②3位顾客n=3，总数=(3-1)×6+1

11.2构造数列

最、排名第几、最...最...，排名第几的最...
体重最轻的最重多少斤，排名第二的最少多少分

特征：和一定，求某个量的最大/最小值
方法：排序定位(求谁设谁，画表)→反推其他→加和求解。结果是小数→问至少就上取整，至多下取整(大退小补)
解得x=7.2，最少7.2，答案=8；最多7.2，答案=7

例:5个人分25个苹果，每个人分得的苹果均为正整数。若每个人分得的苹果数各不相同，问:
(1)分得苹果数最多的人最多分得多少个?
其他人尽可能的小，最少的人设置为1（此处不设置为Y）

(2)分得苹果最多的人至少分得多少个?
其他人尽可能的多，第二比第一小&尽可能大=X-1

11.3多集合反向构造

多集合反向构造：多个条件都满足的最少/至少。正向不好构造，反向→加和→作差
有100人，其中白的80人，富的70人，美的60人，问“白富美”至少有多少人?
问最多，木桶原理，直接60，但是问的至少，正向不好构造
先反向：不白20人，不富30人，不美40人
再加和：20+30+40=90
最后做差：总-加和=100-90。就是满足情况的，问至少即为所求的不交叉

方法①：反向→加和→作差
方法②：将做法总结为公式：$=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}-(n-1)S$=70+80+60-2×100

12.数字推理

一定会考：江浙、上海、广东省

12.1基础数列

基础数列：等差数列、等比数列、质数数列(有2)、合数数列、周期数列(数字循环、正负循环)、简单的递推数列(加减乘除)。

1，3，5，7，？        9奇数数列/等差数列
2，3，5，7，？        11质数数列
1，2，3，5，？        8递推和数列，1，1，2，3，5也满足

12.2特征数列

多重数列：项数多≥7项，先交叉再分组

交叉：奇数项和偶数项分别成规律。如2，3，3，6，4，12，5
分组：相邻两两分组或三三分组（较少），分组后看组内：加、减、乘、除。如(2，1)，(2，3)，(5，2)，(4，5)，(2，X)
项数多，先交叉，交叉不行，再分组：两两分组。
5,6/9,13/15,18/19,x。先加和试试11，22，33，44。公差=11的等差数列

机械划分：识别①全是小数②有±等分隔符③大多数是多位数

解题思路：每个部分拆开：交叉看或者分组看
①小数：小数点前、点后拆分，分为整数部分和小数部分。存在倍数关系，优先考虑除法
分开看：整数、小数分别成规律(交叉)
一起看，每个数的整数、小数的规律(分组)
②多位数：拆分成两个数或三个数。235，145：2+3=5，1+4=5
③有分隔符：按照分隔符拆分

分数数列：全部或大部分是分数。将整数化为分数

分子分母单调增减时：
分开看，分子分母分别成规律
一起看，两分数之间四则运算
分子分母不是单调增减时：反约分，分子分母同时扩大同倍，谁阻碍了单调趋势，就反约分谁

作商数列：两两作商。只要存在倍数关系，优先考虑除法。

特殊：每个相邻两数间，隐隐约约觉得有倍数关系，也是作商

幂次数列：数字本身是幂次数或在幂次数附近

普通幂次：直接转化成$a^{n}$找规律
修正幂次：先转化为普通幂次±修正项，再找规律，特征数64、27附近。
11²=121，12²=144，13²=169
14²=196，15²=225，16²=256
3³=27，4³=64，5³=125，6³=216
$2^4$=16，$3^4$=81，$4^4$=256，$5^4$=625
2的次方：2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024
①$\cfrac{1}{a}=a^{-1}$
②$1=1^{n}=m^{0}$（m 为非零数）；$0=0^{n}$（n＞0），即0和1的任意次方都是本身
③优先转化唯一幂次数，先避开 0、1，16，64，81这些不唯一的
④常用$16=4^{2}=2^{4}，64=8^{2}=4^{3}=2^{6}，81=9^{2}=3^{3}，625=25^{2}=5^{4}$

图形数列：方阵、圆形

①有中心凑中心，无中心凑相等
②先看每个图中，最大数位置是否一致。位置一致：优先按行/按列凑大的数 。不一致：优先按行/按列/对角线加和。

12.3非特征数列

多级数列：无其他明显特征，数列一般变化平缓。两两作差>做两次差>作和

递推数列：保底使用

①圈3个稍微大点又好算数(挨在一起)，有特殊圈特殊
②找规律（加、减、乘、除、方），差距大直接上乘积递推or幂次递推，不用和差
③做验证

步骤：判断是否是基础数列→根据特征作特征数列→无特征：作差、递推

12.4等差数列

等差数列：相邻两项的差值相等。通项公式：$a_{n}=(n-1)d$
极差公式：$a_{n}=a_{m}+(n-m)d$，已知第m项，推第n项，反之亦然
等差数列求和公式一：$S_{n}=(a_{1}+a_{n})\frac{n}{2}$
等差数列的平均数=中位数，公式二：$S_{n}=$平均数(中位数)×项数。等差数列同时出现总数$S_{n}$和项数，使用公式2

若等差数列为奇数项，中位数就是最中间的数
若等差数列为偶数项，中位数就是最中间两个数的平均数

12.小题型

12.1星期问题

闰年：

  • 非整百年份，年份能被4整除
  • 整百年份，年份能被400整除

大月和小月：2月闰年29天

周期余数：已知某天为周几，过n天后为周几

  • 每过一个整周，星期数不变
  • 今天星期二，过(1)周为星期(2)，过(N)周为星期(2)
  • 过(7N)天为星期(2)，过(30)天为星期(4)
  • ==第N项=该周期的第N项==
    • 1月1日是周一，1月16日是周几？$\Longrightarrow$ 16÷7=2…2，一周的第2项，周二
  • ==过N天=第N+1天=该周期的N+1项==
    • 1月1日是周一，过16日是周几？$\Longrightarrow$ 16÷7=2…2，一周的第2+1项，周三
      结论:
  • ①总天数÷7=周期数……余数(m），星期数往后推m天
  • ②过平年（没有闰日2.29）星期数+1(365÷7=52……1)
  • 过闰年(有闰日2.29)星期数+2(366÷7=52……2)

星期推断：某月有若干个周几，问某天为周几

  • 每连续的7天有完整的星期一至星期日
  • 每个月有4个或5个星期X，每连续28天，必有周一至周日各4天
    • 取一连续28天，求前/月初就取后28天，求后/月末就去月初28天
  • 若星期X有5个：则最后一个该星期X一定是29/30/31号，最初一个星期X一定是1/2/3号
    • 1~28号有4个星期五，剩下的3天29,30,31一定有1个是星期五
    • 4~31号有4个星期五，剩下的3天1,2,3一定有1个是星期五

12.2植树问题

段数=$\cfrac{总长}{间隔}$

  • 1.两端植树：棵数=段数+1
  • 2.单端植树/环形植树：棵数=段数。正方形、怪谜日眼型，环起来都算
  • 3.楼间植树/两端都不植：棵数=段数-1

12.3方阵问题

12.4溶液问题

方程法：浓度=溶质/溶液，溶质=溶液×浓度。抓住溶质总量不变列式求解

线段法：混合之前写两边，距离与量成反比。

溶液混合：方程、线段法

方程：混合前后溶质不变，通用
线段：条件充分时使用(混合前后的浓度给了)，浓度差值与溶液的质量成反比，类似混合增长率

等量混合：相等质量的溶液混合。混合后浓度为混合前浓度的平均值。水的浓度=0

溶质不变：反复蒸发或加水，浓度不断变化，对溶质赋值(一般赋公倍数)

溶液不变：倒出一定比例的溶液，然后用水加满，最终浓度=初始浓度×剩余溶液的比例

浓度为80%的溶液，倒出$\cfrac{1}{4}$，然后用水加满，再倒出$\cfrac{1}{5}$，用水加满。则此时溶液的浓度是多少?
$\cfrac{80}{100}=\frac{80*(1-\frac{1}{4}))}{100}=\frac{80}{100}(1-\frac{1}{4})=\frac{3}{4}$×80%，等比例倒出，最终浓度=原来浓度剩下溶液占原本溶液的比例。
一碗芝麻粉，第一次吃了半碗，然后用水加满搅匀；第二次喝了1/3 碗，用水加满搅匀；第三次喝了 1/6 碗，用水加满搅匀；最后一次全吃完。则最后一次吃下的芝麻糊中芝麻粉含量是：
A.1/6        B.5/6        C.1/18        D.5/18
溶液不变，最初浓度=1，最后浓度=$=1\times(1-\frac{1}{2})\times(1-\frac{1}{3})\times(1-\frac{1}{6})$

13.方法

13.1线段法

区别：方程法、十字交叉、线段法

混合居中：混合后的浓度介于混合之前，放中间。距离与量成反比，看好份数认真算

清水浓度=0，3溶液混合就先两两混合

混合百分比%=A/B，距离是百分数之比，量之比为分母的比

混合浓度=溶质÷溶液；
混合占比=部分量÷总量；
混合利润率=利润÷成本(卖衣服的利润率&卖裤子的利润率&一套的利润率)；
混合折扣=售价÷原价；
混合增长率=增长量÷基期量
混合平均数=总数/人数

1：1等量混合：量相同的先混合，混合的比例就是中点$\cfrac{a+b}{2}$
某商店的两件商品成本价相同，一件按成本价多25%出售，一件按成本价少13%出售，则两件商品各售出一件时盈利为多少?
A.6%        B.8%        C10%        D.12%

13.2赋值法

①从条件看：没有具体数，给比例，求比例的和差倍比问题

②从三量关系看：A=B*C，三量关系，至多给一个

售价=进价*(1+r)，只知道r
工程问题：只知道时间
行程问题：只知道时间
溶质=溶液*浓度：赋值不变的量(如溶质)，尽量为浓度的公倍数(好除)

将一满容器浓度为 24%的溶液放置太阳下暴晒一段时间，经过一段时间蒸发水分后溶液浓度变为 36%且无沉淀。然后再用浓度为 12%的溶液将容器加满。请问容器内溶液浓度变为多少？
A.24%        B.28%        C.30%        D.32%
溶质不变，赋值溶质，
溶质=溶液*浓度
       =       *24    
       =       *36
∴假设溶质是72(公倍数，好除) A
某商品今年的成本比去年减少 15%，由于售价不变，利润率比去年增加了 24 个百分点，则该商品去年的利润率为：A.24%
方法2：假设利润率
定价=售价*(1+r)=100 *(1+X)，为整数
=85*(1+X+24)为整数，只有C符和24+36=_0 。选C